陶哲轩：用数独和俄罗斯方块游戏找反例，推翻周期性平铺猜想

·寻找非周期性平铺方案和相关瓷砖的过程，如同打碎一个花瓶然后再复原它。不过，研究者希望花瓶碎裂后形成的是均匀的碎片，且破碎的纹理是“非周期性的”。这样的瓷砖即使铺满全世界，拼接图案也不会重复。

华裔数学家、菲尔兹奖得主、美国加州大学洛杉矶分校数学系教授陶哲轩（Terence Tao）

他们在超高维空间中找到一块这样的“瓷砖”。

但实际上，陶哲轩提前了两个多月就在其博客上宣布了上述消息；并在9月18日凌晨，他们向arXiv网站提交了一篇缩略的“公告”论文——announcement，全文共13页。

该论文的合著者是原美国加州大学洛杉矶分校数学系Hedrick助理教授、现美国普林斯顿高等研究院数学学院成员雷切尔·格林菲尔德（Rachel Greenfeld）。她是陶哲轩的博士后。

周期性平铺和非周期性平铺产生的不同效果。截图来自《Aperiodic Texture Mapping》

数学家们推测，在二维以上更高维度上，也不存在用同一种就实现非周期性平铺的瓷砖。这一假设被称为“周期性平铺猜想”。

彭罗斯瓷砖样式之一。截图自Eureka 39(1978) 16-32

部分王浩瓷砖。来自Parcly Taxel 

用“王砖”进行的一种非周期性平铺。来自Claudio Rocchini

而彭罗斯瓷砖不只在数学界很有名，在建筑装潢领域甚至材料科学领域也成功圈粉，给人们带来新的启示。

彭罗斯瓷砖或拼图的样式之一。来自Taktaal 

丹·谢特曼拍摄到的电子衍射图片。截图自Phys. Rev. Lett. Vol. 53(20),1984

准晶体的电子衍射图片。来自nobelprize.org

2020年，89岁的彭罗斯被授予诺贝尔物理学奖，表彰他“发现黑洞的形成是对广义相对论的有力预测”。他独享一半奖金，与“在银河系的中心发现了一个超大质量致密天体”的德国科学家赖因哈德·根策尔（Reinhard Genzel）和美国科学家安德烈娅·盖兹（Andrea Ghez）分享了2020年的诺贝尔物理学奖。

立方形密铺。来自Tomruen 

“2非常接近了，但还不够。” 格林菲尔德说。

像“俄罗斯方块游戏”一样消行。截图自陶哲轩2022年9月19日的博客文章

在上述博客文章中，陶哲轩写道，他们创建了一种“平铺语言”（“tiling language”），使用平铺方程组来描述非周期函数。“这个证明，让人强烈地联想到解决数独谜题所需的推理类型，因此，我们在论点中采用了一些类似数独的术语来提供直觉和视觉效果。一个关键步骤是，对拼图进行剪切变换……然后执行消除常量行的‘俄罗斯方块’移动以得出次级数独谜题，然后依次分析该谜题。正是这个过程的迭代最终生成了非周期性p-adic结构。”

陶哲轩进一步解释说，如公告中所述，最初的策略是构建一种“平铺语言”——一种能够用来编码“P进数数独谜题”（P-adic Sudoku puzzle）的语言；然后证明如果P是一个足够大的素数，那么后一种类型的谜题只有非周期性的解决方案。“事实证明，该策略的后半部分成功了。”“在编程过程中，我们还发现，一旦引入‘可表达属性’和‘弱表达属性’两个新定义，证明的编码部分将变得更加模块化和概念化。”

格林菲尔德的简历显示，其研究课题“平移平铺和正交系统指数”（translational tiling and orthogonal systems exponentials）获得了美国国家科学基金会（NSF）11.7056万的资助，编号是DMS-2242871，资助期限是2022年到2025年。参考资料：1.https://www.quantamagazine.org/nasty-geometry-breaks-decades-old-tiling-conjecture-20221215/#newsletter2.https://nautil.us/impossible-cookware-and-other-triumphs-of-the-penrose-tile-rp-234895/?_sp=1048d065-5002-434f-85c5-fa868cbccae2.16713707002123.https://huanqiukexue.com/a/qianyan/cailiao__huaxue/2017/0527/27301.html4.https://terrytao.wordpress.com/2022/09/19/a-counterexample-to-the-periodic-tiling-conjecture/5.https://arxiv.org/abs/1602.05738